實例：馬丁格爾場次
在$500賭桌每次以十美元押紅色，每次輸掉後加倍。逐次旋轉，包括結束它的那一次。
從$1,000資金開始的模擬馬丁格爾場次。四十一個小贏，接著連輸六次，第七注遭拒。場次曾贏$410，最終少$220，這正是系統的作用。
計畫
在紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →下注$10。輸掉後加倍。贏後回到$10。桌限賭桌桌限允許的最低與最高下注額。最高額會阻止加倍加碼系統。閱讀全文 →為$500，因此下注額依序為10、20、40、80、160、320，接著是賭桌會拒絕的$640賭注。連輸六次使系統失效；每次嘗試有(19/37)⁶ ≈ 1.8%的機率發生，100次旋轉的場次約有50次嘗試。預期為：100次旋轉內失效的機率約60%，失效時損失$630。
第1–30次旋轉
普通的馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →：一至三次輸掉的串列，每串都由一次獲勝結束，淨得+$10。到第30次旋轉，我們有17次獲勝，每次結束一個循環，並贏得$170。迄今最高下注額是三次輸掉後的$80。它感覺像印出$10鈔票的機器。
第31–60次旋轉
大致相同，另有一次連輸四次的循環（下注額至$160，接著獲勝），短暫讓$310放在檯面上，感覺像勇氣。60次旋轉後：完成41個循環，贏$410，而資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →最低點為$1,040。每一個馬丁格爾場次的直方圖，在大部分長度上都長這樣。
第61–66次旋轉
輸 輸 輸 輸 輸 輸。下注額10、20、40、80、160、320：損失$630。下一注為$640；上限為$500。系統失效。我們可以下注$500（即使贏，該循環仍少$130），或重設為$10並接受損失。連續六個黑色賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →或零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →，每個循環的機率數學機率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →是1.8%。我們已進行約45個循環。在45個循環的某處到達這一步的機率約55%。這不是壞運氣；它是中位數。
- 第10百分位數 −$1,000
- 第25百分位數 −$1,000
- 中位數 −$1,000
- 第75百分位數 +$790
- 第90百分位數 +$1,690
帳目
60次旋轉後贏$410，66次後少$220。總投注額：66次旋轉約$2,100，相較固定每次$10下注者的$660。$2,100總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →的預期損失數學預期損失期望值乘以總投注額；在一個場次或期間內平均損失的金額。閱讀全文 →是$57；我們實際−$220，約比它低三分之一個標準差數學標準差變異數的平方根；結果與期望值的典型距離。閱讀全文 →，對結果分布有長左尾的系統來說並不特別。若我們在第60次旋轉、以$400停利策略停利預先設定的獲利目標，到達時結束場次。閱讀全文 →停止，會帶著+$410離開，而下一場次每個循環仍有相同的1.8%。
此場次顯示什麼
馬丁格爾把48.65%的賭注轉為一個序列：98%的循環贏，另外2%的循環輸63單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →。它不改變每一美元的預期損失；它使美元數倍增。身旁的固定下注者下注額只有三分之一，平均損失也只有三分之一。執行這套系統一年的玩家，大多數晚上會贏，卻輸掉整年。
連續損失多常發生
單零轉輪上的等額賠付注，在37次旋轉中有19次會輸。每一列顯示某一段指定旋轉全數輸掉的機率，以及每次損失後都加倍的馬丁格爾玩家到當時已損失多少。
| 連續損失 | 機率 | 約1／ | 目前已損失 | 下一次下注額 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
機率是19/37，每損失一次便自乘一次，從某一次指定旋轉起算。一個很長的場次有許多可開始這種連續損失的旋轉，因此整個晚上出現的機率遠高於單一列所示。
問題
九次輸掉而非六次才會使其失效：每個循環0.25%，發生時損失$5,110。更罕見的懸崖，更高的懸崖，同樣的−2.70%。
它有48.65%的時間會贏，卻仍使該循環為−$130。失效的馬丁格爾之後沒有好走法；只有你接下來選擇的下注額。
對那一個場次有。對所有場次的平均值沒有。
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
在桌限$1到$500的賭桌上，一名馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →玩家在單零轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →轉輪的紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色以$1開始。連輸幾次會無法再加倍？到那時已輸多少？這多久發生一次？
顯示解答
答案 連輸九次：已輸$511，下一注將為$512。約403個序列中發生一次。
下注額為1、2、4、8、16、32、64、128和256：合計$511。第十注會是$512，超過上限。下注$500若中獎，玩家仍輸$11；若輸掉，則輸$1,011。
紅色以19/37的機率輸掉，因此連輸九次的機率為(19/37)⁹ ≈ 0.25%，約403個序列中一次。每個完成的序列贏$1，所以玩家預期在一次$511損失之前，會有約$402的小額贏款，而全部下注額的2.70%平均仍會損失。
在雙零轉輪上，機率為(20/38)⁹，約323次中一次。Bollman（2021）印為「約833分之1」，那是(18/38)⁹，即連贏九次的機率。
漫畫點綴
四十一個小贏和一個大輸。這就是整套系統。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”