賭徒謬誤
因某結果一段時間未出現，便相信它「該出了」。
連續十次紅後，黑的機率仍為18/37。轉輪不保留紀錄，也不欠任何結果。
這個謬誤
若紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →已出現十次，許多玩家便覺得黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →「該出了」並據此下注。另一些人覺得紅「手感火熱」而押它。兩者都是從已結束的序列，推論尚未發生的一次旋轉。球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →不知道前十次旋轉是什麼；口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →大小和一小時前相同；黑的機率數學機率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →也一如既往是18/37。
為何感覺是真的
長期而言，紅與黑的比例確實都會收斂至18/37。大數法則數學大數法則隨試驗次數增加，獨立結果的平均值會收斂於期望值。閱讀全文 →保證這一點。但收斂透過稀釋而非修正：再旋轉1,000次後，多出的十次紅在比例中只是四捨五入誤差，並非黑追上了，而是樣本變大。沒有使黑更可能出現的機制；大數法則也不要求有這種機制。
Monte Carlo，1913年八月18日
Casino de Monte-Carlo的一張賭桌連續出現26次黑。大約從第十五次黑開始，玩家蜂擁押紅，不斷加倍再加倍，每一次旋轉都比前一次「更確定」。賭場贏得數百萬法郎。自第一次黑起算，這個連續結果的機率是137百萬分之1；而它終將在世界某處賭場發生的機率實質上為一。這也是賭徒謬誤又稱Monte Carlo謬誤的原因。
平常。每44次出現一次。
玩家開始注意到。紅「該出了」。
賭桌擠滿人。每次輸後，紅的下注額就加倍。
財富流失。每一個新的黑都讓紅顯得更確定。
連續結果結束。賭場從押反一段不可能「知道」自己是連續結果的序列的人身上，贏得數百萬法郎。
手感火熱
因某種顏色正連續出現而支持它，是將同一錯誤反過來：期待連續結果會繼續，而非結束。心理學家稱之為手感火熱迷思迷思手感火熱迷思相信一連串獲勝或某一結果會使它更可能再次出現。在轉輪上，這是反過來的賭徒謬誤。閱讀全文 →，名稱來自Gilovich、Vallone和Tversky於1985年研究籃球投籃連續性、發現超出機率者並不存在的研究。2018年，Miller與Sanjurjo指出檢定本身有偏差：在短期紀錄中，命中之後緊接命中的比例，平均會低於射手整體命中率，因此完全沒有手感火熱的球員也會顯得略為冷手。修正後，同一資料顯示適度的手感火熱。人可能熱身；轉輪沒有狀態可進入。有些玩家同時相信兩種說法：連續結果會持續到「太長」後才結束。在公平轉輪上，每個版本的期望值數學期望值長期而言，每筆賭注的平均結果。所有標準歐式賭注都是下注額的−1/37。閱讀全文 →都與擲硬幣選顏色相同：下注額的−2.70%。
在真實賭桌上
Croson與Sundali（2005年）檢視Reno一間大型賭場的一張雙零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →賭桌18小時監視影像：139名玩家下了24,131筆賭注。對等額賠付注賭注等額賠付注紅／黑、單／雙、高／低。18個號碼，賠付1:1。閱讀全文 →，玩家大致同樣分成跟隨短連續結果或反押的一方。連續五次同類結果後，他們傾向反押；連續六次以上後，85%的賭注都押向另一邊。同一批玩家對自己則呈現手感火熱：號碼中獎後，下一次平均覆蓋13.6個號碼；輸掉後則是9.2個。他們的轉輪沒有偏差跡象，因此這一切不改變任何人可預期的結果。
賭場之外
同一種拉力也出現在真正的決策裡。Clotfelter與Cook（1993年）追蹤Maryland每日數字遊戲：某個號碼一經開出，押在它的金額便急遽下降，數月後才恢復，儘管抽獎沒有記憶。Chen、Moskowitz與Shue（2016年）在專業人士中發現此現象。美國庇護法官若前一案准許，拒絕下一案的機率最高會增加3.3個百分點。棒球裁判在判出好球後，下一球判好球的機率低1.5個百分點；對邊緣球更是其兩倍以上。平額報酬的貸款專員田野實驗中，最高9%的決定會以此方式反轉。案件按隨機順序到來，因此前一個決定無法說明下一個，正如前一次旋轉無法說明下一次。
逆賭徒謬誤
哲學家Ian Hacking（1987年）為第三種版本命名。有人走進房間，看見一對骰子擲出雙六，便推論它們先前一定已擲過很多次。每次擲出雙六的可能性相同，不管是當晚第一次或第一千次，所以這個畫面無法說明遊戲進行多久。輪盤中，這是看到看板顯示八次紅而認定賭桌必定已旋轉數小時的玩家。普通謬誤把過去讀入下一次旋轉；這種謬誤則把罕見畫面讀入沒人見到的過去。
相信它的心理學家
這個謬誤也有博學的辯護者。德國心理學家Karl Marbe檢視四份各49,152筆出生紀錄，發現連續男孩或女孩的最長連續次數是17，便推論長連續結果比機率容許的更少，故連續結果會使另一種結果更可能。純粹機率說的恰好相反：196,608例出生中，連續17次或以上約每五次出現四次。Marbe發現的正是隨機序列的樣子。Epstein（2013年）重述此案；「輪盤連續結果的機率」提供輪盤版本。
謬誤不適用之處
若轉輪有物理偏差，過去旋轉便有資訊價值，因為它們是關於口袋而非運氣的證據。這是實驗室的主題，且需要同一已識別轉輪的數千次旋轉才能說明任何問題。對未知轉輪連續十次紅，偏差解釋遠不如機率解釋可能。
問題
不是。它適用於任何獨立重複事件：骰子、硬幣、彩券號碼。
比例會接近。你的結果仍約為所投注金額的−2.70%。
沒有平均法則。只有大數法則，而且它透過稀釋運作。
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
擲硬幣10次後，出現7次正面和3次反面。擲1,000次後，出現517次正面和483次反面。反面追上來了嗎？
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答案 沒有。差距從4擴大到34；只有比例更接近均等。
正面與反面的比例從7/3（約2.33）降為517/483（約1.07）。這正是大數法則數學大數法則隨試驗次數增加，獨立結果的平均值會收斂於期望值。閱讀全文 →的作用。
兩者的差距從4擴大到34。公平硬幣擲1,000次後，差距約30很平常：典型差距大致隨擲幣次數的平方根增加，而比例則趨向1。
沒有任何事把反面拉回來。早期正面的多出部分被接下來990次擲幣稀釋，而非被修正。
擲硬幣四次，只看緊接在正面後的那些擲幣。當中有多少比例也是正面？請對16種可能序列中的每一種算出來，再取這些比例的平均。結果是50%嗎？
顯示解答
答案 不是。結果是17/42，約40.5%。這樣看來，公平硬幣在正面後似乎會變冷。
列出16種序列。其中TTTT和TTTH在前三次擲幣都沒有正面，所以沒有任何結果接在正面後；剩下14種。
在每種序列中，取出正面後的擲幣，找出其中正面所占比例。HHHH是3次中的3次。HHHT是3次中的2次。HTHT是2次中的0次。逐一看完14種序列：六種為0、四種為1/2、一種為2/3、三種為1（HHHH、THHH和TTHH）。
把各比例相加：4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3。除以14：17/42 ≈ 40.5%。
沒有任何一次擲幣偏向反面；每次都是50–50。偏差來自逐一平均序列：一個充滿正面的序列有很多次擲幣可看，卻只算一次，和僅有一次正面的序列一樣。Miller和Sanjurjo（2018）指出，1985年的手感火熱研究正是這樣衡量籃球員，因此看起來不比隨機結果更常連中的球員，實際上確實更常連中一些。
漫畫點綴
稀釋，而非修正。轉輪不欠任何結果。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”