問題：桌限
$500賭桌上的$10馬丁格爾。它多常失敗、失敗時損失多少，提高桌限有幫助嗎？
連輸六次會使它失敗：每個循環1.8%，約占100次旋轉場次的60%。失敗成本為$630。將桌限提高到$5,000，失敗較罕見（每個循環0.25%），但損失更大（$5,110）。任何桌限下，每投注一美元的預期損失都是2.70%。
問題
玩家在紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →下注$10，每次輸掉後加倍，中獎後重設。賭桌最高額為$500。（a）連續輸多少次會使加碼系統策略加碼系統根據先前結果改變下注額的任何規則。負向加碼在輸後提高，正向加碼在贏後提高。閱讀全文 →失敗？（b）每個循環的機率數學機率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →為何？（c）失敗時損失多少？（d）$5,000桌限如何改變答案？（e）是否有任何桌限可使系統有利可圖？
解答（a）–（c）
下注額為：10、20、40、80、160、320。第七次本應是640 > 500，因此連輸六次會使它失敗。（b）紅色的p（輸）= 19/37；(19/37)⁶ = 0.0183，約為每循環1.8%。一個循環平均約持續兩次旋轉，因此100次旋轉的場次約有50個循環，p（至少一次失敗）≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%。（c）10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630，即63個基礎單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →，相對於該循環原本試圖贏得的$10。
解答（d）
在$5,000時：允許下注至2,560；第十次下注5,120會被拒絕。連輸九次會使它失敗：(19/37)⁹ ≈ 每循環0.25%，約占100次旋轉場次的11%。失敗時損失：10 + 20 + … + 2,560 = $5,110。玩家以更大的災難為代價，買到較少見的災難。在很多場次中，失敗的預期成本為p × 損失 ≈ $500桌限下每循環0.0183 × 630 = $11.5，而$5,000下為0.0025 × 5,110 = $12.8；在四捨五入範圍內，兩者相同，它是循環的預期損失數學預期損失期望值乘以總投注額；在一個場次或期間內平均損失的金額。閱讀全文 →扣除成功循環賺得$10後的值。
解答（e）
沒有。任何桌限下，每循環預期損失 = （循環中的預期總下注額）/ 37，因為每一注都是自身的−1/37。桌限只決定損失如何分布於許多小贏與少數大輸之間。若沒有桌限且資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →無限，加碼系統會「有效」，意即它絕不失敗；同時也會投注無界金額，並對那筆無界金額承受2.70%的預期損失。不是桌限賭桌桌限允許的最低與最高下注額。最高額會阻止加倍加碼系統。閱讀全文 →阻止馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →有效。是算術。
兩張真實賭桌
Thorp的例子是一張$1賭桌，最高額$1,000，玩家希望以每次一美元贏得$30晚餐費。下注額1、2、4 … 512允許十次下注，因此連輸十次會使加碼系統失敗：歐式轉輪中每785個循環一次（美式中每613個循環一次），成本為$1,023。三十個循環全數成功的機率為96.2%。其餘3.8%損失約$1,000，而一晚的平均結果是−$9.17，正好是三十個循環平均下注$339的1/37。一張最高額$2,000的$5賭桌也無不同：最高可下注$1,280，允許九次下注，歐式轉輪每403個循環發生一次失敗（美式每323個循環一次），成本為$2,555。
富有的玩家
與其設定低桌限，不如給加碼系統充足資金：1,000單位、基礎額一單位，在紅色進行1,000次旋轉；每當下次加倍超過剩餘金額時，就從一單位重新開始。我們模擬了一百萬個這樣的夜晚。歐式轉輪中，52%以領先結束，21%輸光一切，平均結果為−124單位。即使在沒有零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →、每一注公平的遊戲中，只有約60%會以領先結束。通常的一晚是小贏；平均值則由餘額歸零的夜晚支付。
重點
賭場設定限額，是為了限制自身的變異數數學變異數衡量結果在期望值周圍分散程度的數值。單號高，等額賠付注低。閱讀全文 →，不是為了擊敗系統。能擊敗馬丁格爾是它們樂於見到的副作用，而算術無論如何都會擊敗它。把限額視為問題的玩家，找到了懸崖，卻錯把它當成坡度。
公式
問題
它讓你能在更高的桌限下存活，那裡的失敗更罕見也更大。每美元的預期損失不變。
下注額10、30、70、150、310：$500桌限在五次連輸後達到，失敗成本為$570。同樣是2.70%。
讓一名玩家不能下注超過賭場儲備能輕鬆支付的金額。變異數管理。
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
一個馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →從紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色$100開始，每輪最多允許n注：連輸n注後便放棄並重新開始。將一輪的平均結果寫成n的公式，並計算歐式轉輪上5、6和7注的結果。
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答案 平均為100 × (1 − (38/37)ⁿ)：5注−$14.26、6注−$17.35、7注−$20.52。允許更多賭注令平均一輪更差，不會更好。
除非全部n注都輸，否則一輪贏$100；後者以qⁿ的機率發生，其中q = 19/37。全部輸時，下注額100、200……100 × 2ⁿ⁻¹相加為100 × (2ⁿ − 1)。所以平均為100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)。
此處2q = 38/37，略大於1，所以(2q)ⁿ隨n增大，平均下降：n = 5得1.1426及−$14.26；n = 6得1.1735及−$17.35；n = 7得1.2052及−$20.52。較長的階梯較少輸，在3.6%、1.8%及0.9%的輪次輸掉，但每次損失大一倍，且每輪更多錢跨過賭桌，每一注都有2.70%。
美式轉輪上2q = 40/38，數字為−$29.24、−$36.04及−$43.20（Taylor，2021）。在沒有零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →的遊戲中2q = 1，無論階梯多長，每輪平均恰為零。
「大馬丁格爾」在輸後將下注額加倍並加一單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →，所以下注額為1、3、7、15、31……第一次中獎出現在第1、第2、第3或第k注時，贏多少單位？若單位為$10、最高額為$500，一輪多常中斷，平均成本是多少？
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答案 第k注中獎後淨贏k單位：+1、+2、+3，以此類推。單位$10且最高額$500時，一輪在五次連輸後中斷，占3.57%的輪次，損失−$570。平均每輪在$85.73下注額中輸$2.32：2.70%。
第k筆下注額為2ᵏ − 1單位：1、3、7、15、31。前k − 1筆下注額相加為2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1。第k注中獎賠付2ᵏ − 1，因此一輪結束時淨贏(2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k單位：在中獎前每輸一次多贏一單位。
單位$10時，下注額為$10、$30、$70、$150和$310；下一筆$630超過$500最高額。連輸五次，(19/37)⁵ = 3.57%，損失10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570。
平均：k = 1至5時，中獎以(19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37的機率帶來$10 × k；中斷以3.57%的機率損失$570；合計−$2.32。平均每輪下注額為$85.73，2.32/85.73 = 2.70%。同一張賭桌上的普通馬丁格爾在六次連輸後中斷，占1.83%的輪次，損失−$630，並在$64.20下注額中輸$1.74：同樣是2.70%。
一名玩家計畫在紅色使用馬丁格爾，首注$1，賭桌限額$1,000，因此可下十注：$1、$2、$4，依此至$512。一輪多常十注全輸，平均要多久，200注的一晚多常以此結束？
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答案 一輪十注全輸約每784輪一次，損失$1,023。平均約1,600注，而200注的一晚約11%的時間撞上限額。一輪在$11.31下注額中平均仍輸$0.31：2.70%。
紅色賭注以19/37的機率輸，包含零號。連輸十次：(19/37)¹⁰ ≈ 0.00128，約784分之1。下注額1 + 2 + 4 + … + 512合計$1,023。
一輪平均需2.05注，因此784輪約為1,600注。按每次旋轉計，十次連輸在200注某處出現的機率為11.3%。
在災難之間，玩家每輪贏$1：約$783後遇到壞的一輪，損失−$1,023，整段約為−$240。每輪：1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31。每輪下注額：1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31。而−0.31/11.31 = −2.70%。
比較$500限額下首注$10、六注：撞牆約每55輪一次，200注的一晚有84%的時間會遇到。更高的限額使崩潰更罕見也更大，不會更便宜。
漫畫點綴
在每個桌限下，失敗更罕見也更大。乘積不變。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.