輪盤獎金、促銷與回饋
輪盤獎金，例如matchplay優惠券、不能兌現的籌碼和損失退款，會把一小部分資金從賭場移向玩家。定價正確時，其中有些價值超過轉輪收取的成本。
使等額賠付注中獎賠付加倍的優惠券，在歐式轉輪上約值下注額的46%。一次性促銷籌碼在涵蓋n個號碼的賭注上值面額的(36 − n)/37：單號為95%，紅色為49%。退還淨損失一半，會使紅色短場次值得玩。這些都不改變轉輪；改變的是誰付錢。
為何促銷能勝過優勢
賭場優勢數學賭場優勢賭場平均保留每筆下注額的比例：歐式輪盤為2.70%。閱讀全文 →是每單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →下注額的價格：歐式轉輪為2.70%。輪盤獎金將金額加到賭注的一方；若它加上的金額超過下注額的2.70%，在促銷持續期間，該賭注便為正值。賭場仍會提供它們，因為它們受限：每次造訪一張優惠券、可下注但不可兌現的籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注檯面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →、只提供給損失很大金額玩家的退款。算術和本站其他地方一樣：機率乘以賠付金額賠付中獎賭注返還的金額，以「X比1」表示，另加返還的下注本金。閱讀全文 →，再加總所有結果。
Matchplay優惠券
matchplay優惠券放在現金賭注旁，若中獎就使該賭注的賠付加倍；無論輸贏，賭場都收走優惠券。Bollman（2024）對一張2022年拉斯維加斯優惠券定價，該券在等額賠付注賭注等額賠付注紅／黑、單／雙、高／低。18個號碼，賠付1:1。閱讀全文 →上最多配對$50。歐式轉輪上，以優惠券在紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →押$50，機率18/37贏$100，機率19/37損失$50：期望值為+$22.97，即下注額的45.9%。美式轉輪上為+$21.05，即42.1%。同一張券若允許用在單號賭注單號單一號碼，賠付35:1。閱讀全文 →，價值會是兩倍，這就是優惠券限於等額賠付注的原因。
不能兌現的籌碼
促銷籌碼又稱不可轉讓籌碼，可以下注，但不能兌換為現金。通常規則是使用一次：中獎賭注以普通籌碼支付，促銷籌碼被收走；輸掉時同樣被收走。面額$100的籌碼放在涵蓋n個號碼的賭注上，機率n/37贏得(36 − n)/n × $100，所以價值為面額的(36 − n)/37。籌碼自身的價值永不返還，只有贏款；因此很少中獎但賠付很高的賭注損失最少：單號為$94.59，紅色為$48.65。若規則允許籌碼留在投注檯面設備投注檯面賭桌上印製的下注格。也稱 table、felt、cloth。閱讀全文 →直到輸掉，歐式轉輪上的等額賠付注價值為面額的18/19，美式轉輪上為9/10（Bollman，2024）。
將籌碼變成現金
價值是平均值；想確定拿到錢的玩家可以用對沖買到確定性。Bollman的例子來自已歇業的Vegas World賭場：在美式轉輪使用$1,000的一次性籌碼，紅色$500、黑色賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →$500，並各以現金$20押0與00。紅色或黑色中獎時，贏$500、損失現金$40：+$460。零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →時，兩個籌碼均損失，而現金賠$700：+$680。玩家至少存入$460，平均值$471.58，是僅在紅色使用籌碼價值的99.6%。若規則允許在單一號碼放籌碼，歐式轉輪提供更好的對沖：36個號碼各放$25籌碼（$900），零號放$25現金。無論出現哪個號碼都賠$875，零號現金除非零號本身出現否則損失，因此玩家至少保留$850，即籌碼面額的94%，完全沒有風險。
損失退款
高額玩家常獲提供回饋：在約定場次結束時退還其淨損失的一部分。回饋只在你輸錢時支付，因此結果波動大、且場次短到優勢尚未主導時最有價值。Epstein（2013）計算美式轉輪的情況；我們接著給出歐式轉輪數字。退回淨損失一半時，固定等額賠付注至103次旋轉都值得玩，在25次時最佳，平均值為+0.51個下注額。單號的波動很大，場次約在3,600次旋轉內仍為正值，882次時最佳，平均值+17.25個下注額。較常見的10%退款下，等額賠付注只在單次旋轉為正值，單號則在20次旋轉時最佳，平均值+0.62個下注額。
輪盤促銷規則：賭場指望的是什麼
每項促銷都有上限，而上限保護賭場：每次造訪一張優惠券、固定額度的發行籌碼、只與旅行預期損失遠超回饋的玩家約定退款。使用優惠券後又繼續整晚在紅色每次下注$50的玩家，會在17次旋轉內以每次$1.35把$22.97還回去。對拿了優惠就離開的玩家，或本來就會玩那麼多的玩家而言，價值是真實的。
公式
問題
對它適用的那一注可以。其他每一注仍要付下注額的2.70%。
很少玩家想到它，籌碼受限，而且賭場已把促銷當廣告定價。
很少。它是高額玩家條款，通常與賭場接待人員議定，按一次旅行的淨損失支付。
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
你得到一枚$25促銷籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注檯面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →，不論中獎或輸掉，一注後都會被收走。該放在哪裡：紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色、打賭注打注1–12、13–24或25–36，賠付2:1。閱讀全文 →注，或單一號碼？
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答案 單一號碼。它的平均價值為$23.65；打注為$16.22，紅色為$12.16。
籌碼本身永不返還，只有它贏的部分返還。紅色以18/37機率贏$25：$12.16。打注以12/37機率贏$50：$16.22。單一號碼以1/37機率贏$875：$23.65。
一般而言，押n個號碼的賭注價值為籌碼的(36 − n)/37，因此號碼越少越好。普通籌碼則沒有差異，因為每次中獎時下注額都返還，每一注的價值都是其36/37。拿走下注額傷害常中獎的賭注，幾乎不影響37次中獎一次的賭注。
賭場會在恰好一次旋轉後退還你淨損失的一半。紅色押$100值得玩嗎？單一號碼押$100呢？
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答案 兩者都值得：約紅色+$22.97，該號碼+$45.95。
紅色以18/37機率贏$100，退款後以19/37機率輸$50：(1,800 − 950)/37 = +$22.97。
單一號碼以1/37機率贏$3,500，並以36/37機率輸$50：(3,500 − 1,800)/37 = +$45.95。
這又是matchplay數字。輸了只輸$50的$100賭注，贏$100或輸$50，恰如有一張使贏款加倍的優惠券、下注額為$50的賭注。在較長場次中，退款只在淨結果上支付，支付前輸贏互相抵銷，價值縮小；紅色退半時，25次旋轉是最佳長度。
賭場會在預先選定固定次數的紅色$100賭注後，退還淨損失一半：1、2或3次旋轉。哪個最有價值？
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答案 三次旋轉：約+$31.45。一次值+$22.97，兩次僅+$20.96。
一次旋轉：以18/37機率贏$100，或以19/37機率輸$100並退$50：如上題為+$22.97。
兩次旋轉：都贏（1,369次中324次），+$200。一贏一輸（684次），$0，沒有退款。都輸（361次），−$200，退款後−$100。平均：(200 × 324 − 100 × 361)/1,369 = +$20.96。退款只在損失時支付，兩次旋轉把許多單次旋轉的損失變成打平。
三次旋轉永不會打平。三次皆贏（50,653次中5,832次）：+$300。兩次贏（18,468次）：+$100。一次贏（19,494次）：−$100，退款至−$50。全未贏（6,859次）：−$300，退款至−$150。平均：+$31.45。
承諾的時間越長，退款越有價值，而賭場優勢每次旋轉僅花$2.70，所以價值升至25次旋轉時約+$51（見上表）；奇數次旋轉總是勝過其後的偶數次。
一家拉斯維加斯賭場曾發出一張優惠券：在00押$5，若中獎，支付$250而非通常的$175。在其雙零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →轉輪上，附優惠券的$5賭注價值是多少，占下注額多少？
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答案 約+34%：該注平均價值+$1.71。若$250包含返還的$5，則為+31.6%。
00在38次旋轉中中一次。有優惠券時：一次淨贏+$250，另37次各輸−$5。平均：(250 − 37 × 5)/38 = 65/38 = +$1.71，即$5的34.2%。沒有優惠券： (175 − 185)/38 = −$0.26，即通常的−5.26%。
若$250為返還總額，中獎淨額是$245，平均為(245 − 185)/38 = +$1.58，即31.6%。
Bollman（2024）將Lady Luck賭場（現為Downtown Grand）的這張優惠券作為練習；隨題印出的7.89%答案不符合任何一種解讀。如同matchplay優惠券，它只值一次：使用它後便停止。
漫畫點綴
優惠對拿了它就回家的玩家最有價值。
來源
- Bollman, M. Basic Gambling Mathematics: The Numbers Behind the Neon, 2nd ed.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.