D'Alembert 輪盤策略
D’Alembert輪盤策略在輸掉後加一個單位，在贏得後減一個單位。
它無法擊敗轉輪。它是最平緩的常見加碼系統策略加碼系統根據先前結果改變下注額的任何規則。負向加碼在輸後提高，正向加碼在贏後提高。閱讀全文 →：下注額緩慢上升、回撤中等，賭場優勢絲毫未變。
走過系統
輸了向上移一步。贏了向後退一步。
下注額與結果均以基本賭注單位表示。
D’Alembert輪盤系統，逐步說明
下注一個單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →。輸掉後，下一注多一個單位。贏得後，下一注少一個單位，但不低於一。僅此而已。把它想成蹺蹺板：每次輸掉使下注額向上傾一格，每次贏得又使它退回。背後的信念是贏與輸會平衡，因此下注額會回到基本額。吸引力在於，相鄰下注額的一輸一贏，每對淨得+1個單位：輸3、贏4、淨得+1。
場次看起來如何？
溫和，下注額卻緩慢上升。由於等額賠付注中輸掉與贏得的比例是19比18，長場次中的下注額會向上漂移。由於輸掉時下注額最高、贏得時較低，連輸期間的平均下注額高於連贏期間。場次比馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →平滑，有中度回撤金額回撤一個場次中，資金從高點降至後來低點的幅度。最大回撤是這類下降中最大的一次。閱讀全文 →且沒有懸崖；但因平均下注額較高，平均損失比固定下注策略固定下注每次旋轉下注相同金額。所有加碼系統比較的基準。閱讀全文 →略多。
- 第10百分位數 −$500
- 第25百分位數 −$500
- 中位數 −$500
- 第75百分位數 −$500
- 第90百分位數 −$500
D’Alembert系統有效嗎？
無效。平衡的場次會贏，但場次不會維持平衡。相鄰下注額下有w次贏與l次輸後，淨結果為w − l個單位，再加上你位於階梯何處的修正。若w = l，結果恰好是+w個單位，看似保證獲利。但問題是w = l不是預期情況：37次旋轉中，預期為18次贏與19次輸。若額外的一次輸發生在例如已升至八個單位的下注額上，其成本超過所產生的8對+1。期望值必然是總總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →的−1/37。
為什麼短場次通常會贏？
平衡情況是一條涵蓋每個場次規則的一部分。令D為輸掉次數減去贏得次數。從一個單位開始的N次旋轉場次，只要沒有一個單位的賭注贏得（那次贏之後下注額無法再降），就以(N − D²)/2 − D個單位結束。D = 0時，結果為+N/2，即上節的+w。每增加一次輸掉都以平方計：100次旋轉後，D為4仍有+38個單位，D為8有+10，D為10則為−10。僅憑機率就會使D分散約√N，100次後為十；在沒有零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →的遊戲中，眾多平衡場次的收益和少數失衡場次的損失會恰好抵消。零號平均每37次旋轉增加一次輸掉，而D被平方，因此其成本增長快於場次。最多100次旋轉的場次大多以獲利結束；平均值從不如此，而數百次後多數場次也會損失。
如果反過來呢？
Contra-D’Alembert，也稱反向D’Alembert，在贏後加一個單位、輸後減一個單位。它與原版完全鏡像。只要沒有一個單位的賭注輸掉，N次旋轉的場次會以(D² − N)/2 + D個單位結束，此時D為贏得次數減去輸掉次數。平衡場次每次旋轉損失半個單位，只有贏遠多於輸的一段連勝才能獲利。因此多數場次小幅損失、少數大贏，與原版型態相反，而平均值仍是總投注額的2.70%。
d’Alembert是誰？
數學家、並任《Encyclopédie》共同編輯的Jean le Rond d’Alembert，在1754年的文章中主張連續出現正面後，反面更可能出現。他錯了，而以他命名的謬誤是賭徒謬誤的一種。輪盤上的D’Alembert系統是後來由抱持相同信念的賭徒以他命名。他沒有設計它，也可能不會認同它。
還有其他版本嗎？
上文的Contra-D’Alembert行為像溫和的Paroli策略Paroli正向加碼：贏後加倍，輸後或連贏三次後重設。也稱反向馬丁格爾。閱讀全文 →。有些玩家輸後加兩個單位、贏後減一個單位，使階梯朝馬丁格爾的領域變陡。所有版本每個投注單位的預期損失數學預期損失期望值乘以總投注額；在一個場次或期間內平均損失的金額。閱讀全文 →相同。
模擬器 · D'Alembert
以$1,000資金進行等額賠付注的2,000個場次。
基本賭注$10 · 桌限$500 · 每場次100次旋轉
連續損失多常發生
單零轉輪上的等額賠付注，在37次旋轉中有19次會輸。每一列顯示某一段指定旋轉全數輸掉的機率，以及每次損失後加一個基本賭注的 D’Alembert 玩家到當時已損失多少。
| 連續損失 | 機率 | 約1／ | 目前已損失 | 下一次下注額 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $3 |
| 3 | 13.5% | 7 | $6 | $4 |
| 4 | 7.0% | 14 | $10 | $5 |
| 5 | 3.6% | 28 | $15 | $6 |
| 6 | 1.8% | 55 | $21 | $7 |
| 7 | 0.94% | 106 | $28 | $8 |
| 8 | 0.48% | 207 | $36 | $9 |
| 9 | 0.25% | 403 | $45 | $10 |
| 10 | 0.13% | 784 | $55 | $11 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $66 | $12 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $78 | $13 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $91 | $14 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $105 | $15 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $120 | $16 |
機率是19/37，每損失一次便自乘一次，從某一次指定旋轉起算。一個很長的場次有許多可開始這種連續損失的旋轉，因此整個晚上出現的機率遠高於單一列所示。
問題
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
你在紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色使用D’Alembert，進行50次旋轉，從一單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →開始，且從不讓一單位賭注中獎（此類中獎後下注額無法再降低）。最後有27次輸、23次贏。你贏或輸多少單位？若為29次輸、21次贏呢？
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答案 27次輸時+13單位，29次輸時−15單位。五十次旋轉中只差兩次方向，成本為28單位。
令D為輸次減贏次。N次旋轉的結果為(N − D²)/2 − D。27次輸、23次贏時，D = 4：(50 − 16)/2 − 4 = 17 − 4 = +13。29次與21次時，D = 8：(50 − 64)/2 − 8 = −7 − 8 = −15。
規則成立的原因：下注額總是一單位加上至今的輸次，減去贏次。每一次被後來贏注抵銷的輸注形成一對，先以s輸、後以s + 1贏，淨賺+1單位，如上表所示。N次旋轉中形成(N − D)/2對，每對值+(N − D)/2。剩下的D次輸注，下注額為沿上升路徑的1、2……D，且未被抵銷；成本為1 + 2 + … + D = D(D + 1)/2。合計：(N − D)/2 − D(D + 1)/2 = (N − D²)/2 − D。
平方是全部關鍵。平衡場次每次旋轉贏半單位，而每偏離平衡一步，成本都比前一步高。
你在紅色使用反向D’Alembert，進行100次旋轉，從一單位開始，且一單位賭注從不輸。最後有52次贏、48次輸。結果如何？若為60次贏、40次輸呢？
顯示解答
答案 52次贏時−38單位，60次贏時+170。小幅領先的贏次仍會輸；只有大幅領先才有收益。
令D為贏次減輸次。N次旋轉的結果為(D² − N)/2 + D。
52次贏、48次輸：D = 4，所以(16 − 100)/2 + 4 = −42 + 4 = −38。
60次贏、40次輸：D = 20，所以(400 − 100)/2 + 20 = 150 + 20 = +170。
原因是：每一次被後來輸注抵銷的贏注形成一對，先以s贏、後以s + 1輸，淨−1。剩下的D次贏注，下注額為沿上升路徑的1、2……D，且從未抵銷；帶來D(D + 1)/2。N次旋轉中形成(N − D)/2對，所以總計D(D + 1)/2 − (N − D)/2 = (D² − N)/2 + D。
它是原D’Alembert規則符號倒轉的版本：原規則中，平衡每次旋轉贏半單位而不平衡受罰；在此，平衡每次旋轉輸半單位而不平衡受獎勵。
漫畫點綴
以一位把硬幣看錯的數學家命名。
來源
- d’Alembert, J. “Croix ou pile.”
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.