費波那契輪盤策略
在費波那契輪盤策略中，下注額依序為1、1、2、3、5、8、13……輸掉後前進一步，贏得後退回兩步。
它無法擊敗轉輪；沒有任何下注計畫可以。它比馬丁格爾溫和，因此在觸及限額前能承受更長的連輸，也恢復得更慢。預期損失同樣是總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →的2.70%。
數列如何構成
每個數字都是前兩個數字的總和。
所以8和13之後是21。
將每個數字畫成正方形，這些正方形便能拼在一起：每個新的正方形，邊長等於前兩個並排起來的長度。每個正方形上的四分之一圓連成螺旋線。
走過數列
輸了向右移一步。贏了向後退兩步。
下注額與結果均以基本賭注單位表示。
費波那契輪盤系統如何運作？
寫下費波那契策略費波那契遵循1、1、2、3、5、8、13…數列的加碼系統：輸後前進一步，贏後後退兩步。閱讀全文 →數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。每一項都是前兩項之和。從第一項開始，下注那麼多個單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →。輸掉時向右移動一步。贏得時向左移動兩步，若沒有空間則回到起點。這就是整個系統。表格顯示每一步的成本：被桌限賭桌桌限允許的最低與最高下注額。最高額會阻止加倍加碼系統。閱讀全文 →或你的資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →截斷的連輸，會損失截至目前所有下注額的總和。
場次看起來如何？
以$10為基本下注額，進行八次旋轉：輸 輸 贏 輸 輸 輸 贏 贏。下注額依序為10、10、20（贏，退回兩步至第一步）、10、10、20、30（贏，退回兩步至第2步）、10（贏，回到起點）。損失：10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60。贏得：20 + 30 + 10 = 60。五次輸掉、三次贏得，結果損益兩平。這是此系統的吸引力。成本也在同一列：你靠$120的賭注才到這裡，而每個投注的$1都帶有賭場優勢數學賭場優勢賭場平均保留每筆下注額的比例：歐式輪盤為2.70%。閱讀全文 →。
為什麼退回兩步，而不是一步？
因為一次贏正好賠付兩次損失。每個數字都是前兩個之和，因此以5個單位贏得，會取回剛輸掉的2與3。把它想成樓梯：每輸一次上一階，每贏一次下兩階。你站的那一階就是你的債務。在第5步時落後7個單位，第8步時落後33個單位，而回到第一步時剛好損益兩平。利潤只來自第一步的贏，每次一個單位。
贏和輸幾乎一樣多時，用一次贏退兩步聽起來很划算，而且多數時候樓梯確實會往下。問題是，往上爬時階梯會愈來愈高。第一步贏十次，賺10個單位。第6、7與8步輸三次，成本則是8 + 13 + 21 = 42。
- 第10百分位數 −$500
- 第25百分位數 −$500
- 中位數 −$500
- 第75百分位數 +$250
- 第90百分位數 +$920
費波那契系統有效嗎？
無效，若目標是最終領先。計算和每種系統一樣：每項賭注平均損失其下注額的1/37，因此整個序列損失所有總投注額的1/37。在輪盤中使用費波那契序列不會改變這點，因為不論籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注檯面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →大小，轉輪都支付相同賠率。費波那契下注額會緩慢上升，因此每次旋轉的投注額比固定下注策略固定下注每次旋轉下注相同金額。所有加碼系統比較的基準。閱讀全文 →多，每場次的預期損失數學預期損失期望值乘以總投注額；在一個場次或期間內平均損失的金額。閱讀全文 →也較高。馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →的總投注額更多，損失也更多。
它比馬丁格爾安全嗎？
它較慢，但這不是同一回事。費波那契下注額每步約成長1.6×，而非2×，因此以$10基本下注額計算，約連輸十次才會碰到$500限額，而非六次。這使懸崖較少出現：連續十次等額賠付注輸掉的機率為(19/37)¹⁰ ≈ 0.13%，相較於連輸六次的(19/37)⁶ ≈ 1.8%。但懸崖也更高，因為到那裡之前已下注更多，而且單次獲勝無法彌補。
這些數字從哪裡來？
來自一道關於兔子的謎題。後來被稱為費波那契的比薩的李奧納多，在1202年的《Liber Abaci》中提出：從一對兔子開始，讓每對兔子自第二個月起每月產生一對新兔子，再計算兔子對數。答案是1、2、3、5、8、13。他不是第一個找到這條規則的人。印度詩歌節奏學者更早就寫下它：Singh（1985）將其追溯至600至800年間的Virahanka，接著是Gopala與Hemachandra。
他們都沒有想到轉輪。此處使用的資料沒有說明誰先按該序列下注金錢。它們確實說明，這個序列的算術和輪盤的算術從不相交：一個說下注額如何增長，另一個說每項下注會如何返還。
連輸後會損失多少？
兩個恆等式讓上表容易驗算。連續n次輸掉後，總損失是第(n + 2)個費波那契數減1，即1、2、4、7、12、20等；下一筆下注額是第(n + 1)個費波那契數。Bollman（2021）以歸納法證明，對從1、2、3開始的序列也有相同結果，只是每個數字位移一位。在從1個單位開始、500個單位限額下，馬丁格爾不能下第10注，即512個單位。費波那契可以下第14注，即377個單位，但不能下第15注，即610。
在打注或欄注上會改變什麼？
在打注賭注打注1–12、13–24或25–36，賠付2:1。閱讀全文 →或欄注賭注欄注投注檯面一個垂直欄中的十二個號碼，賠付2:1。閱讀全文 →上，賠率為2比1，無須退回。以F下注額贏得時賠付2F，總是超過此前的一切損失，因此每次贏都讓序列以獲利結束。代價是打注只在37次中贏12次，因此長連輸遠為常見：連輸十四次打注約每242次嘗試一次，相較於紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →約每11,000次一次。
如果只在連贏兩次後停止呢？
另一種變體會在每次旋轉後前進一步，無論贏或輸，並只在連贏兩次後停止。若兩次贏之前有n次輸掉，獲利為第(n + 1)個費波那契數加1：早早贏時較小，晚些贏時較大，而且是在相應增長的下注額上贏得。早期的一對贏總是在小下注額下出現；晚來的一對可能恰好在場次最糟時需要大額賭注。
模擬器 · 費波那契
以$1,000資金進行等額賠付注的2,000個場次。
基本賭注$10 · 桌限$500 · 每場次100次旋轉
連續損失多常發生
單零轉輪上的等額賠付注，在37次旋轉中有19次會輸。每一列顯示某一段指定旋轉全數輸掉的機率，以及每次損失後沿數列前進一步的費波那契玩家到當時已損失多少。
| 連續損失 | 機率 | 約1／ | 目前已損失 | 下一次下注額 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26.4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13.5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7.0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3.6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1.8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0.94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0.48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0.25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0.13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $1,596 | $987 |
機率是19/37，每損失一次便自乘一次，從某一次指定旋轉起算。一個很長的場次有許多可開始這種連續損失的旋轉，因此整個晚上出現的機率遠高於單一列所示。
問題
有：贏後前進，輸後退回。它的行為像較慢的Paroli策略Paroli正向加碼：贏後加倍，輸後或連贏三次後重設。也稱反向馬丁格爾。閱讀全文 →。
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
採用每次旋轉後不論輸贏都沿序列前進一步、並在連贏兩次後停止的變體：下注額為1、1、2、3、5、8，依此類推。前十四個結果為W L W L L L W L L L W L L W。目前結果如何，下一注是什麼？
顯示解答
答案 輸22單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →。下一注為610單位；若中獎，場次將以贏588單位結束。
下注額是前十四個Fibonacci策略費波那契遵循1、1、2、3、5、8、13…數列的加碼系統：輸後前進一步，贏後後退兩步。閱讀全文 →數：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233和377。將中獎相加、輸掉的相減：+1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22。
最後一次結果為中獎，因此再中一次便結束。下一個下注額是610：中獎後為+588，輸掉後為−632，下一個下注額為987。
這個變體總是以贏錢結束，但本例需要610單位的賭注才能如此。依通常規則，中獎後退兩步，同樣的十四個結果只會輸1單位，下一注為2。Bollman（2021）從1、2、3開始該序列，結果輸1單位，下一注為3。本例的通常規則輸得較少，因為每次中獎都會將下注額拉回較低處。
旋轉下注額結果累計總額11W+121L032W+243L−155L−668L−14713W−1821L−22934L−561055L−1111189W−2212144L−16613233L−39914377W−22在同一變體中，為什麼n次輸掉後接著兩次中獎，總會留下第(n + 1)個Fibonacci數加1的利潤？
顯示解答
答案 n次輸掉合計為第(n + 2)個Fibonacci數減1，而接下來兩次中獎的下注額相加，比它多出第(n + 1)個數加1。
以F₁、F₂、F₃……表示1、1、2、3、5……每個數都是前兩個數的和。
輸掉的總額：F₁ + F₂ + … + Fₙ。將F₂所代表的1加到此和，便可逐步合併：F₂ + F₁ = F₃，接著F₃ + F₂ = F₄，如此繼續，直到整個和為Fₙ₊₂。因此輸掉總額為Fₙ₊₂ − 1。
中獎的是接下來兩個下注額Fₙ₊₁和Fₙ₊₂。利潤：Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1。輸四次時，即F₅ + 1 = 6單位。
漫畫點綴
黃金比例遇上最高下注額標誌。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.