Kelly criterion 與輪盤

這項準則

John Kelly（1956）探問，已知有優勢的賭徒該如何決定下注額，才能使資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →的長期成長最大化。對一項賠率為b比1、獲勝機率數學機率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →為p、損失機率q = 1 − p的賭注，答案是押上資金比例f* = (bp − q) / b。正的f*表示下注該比例；零或負值表示不下注。Kelly任職於Bell Labs，他的論文〈A new interpretation of information rate〉將問題置於Claude Shannon的資訊理論中：在公平賠率下，透過有雜訊的線路取得提示的賭徒，資金至多能以該線路傳送資訊的速率成長。1961年，Leo Breiman證明，長期而言，Kelly投注會勝過任何本質上不同的策略，且大約以最短時間達成既定目標。

輪盤中的Kelly投注

對紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →：b = 1，p = 18/37，q = 19/37；f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37。對單號賭注單號單一號碼，賠付35:1。閱讀全文 →：b = 35，p = 1/37，q = 36/37；f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295。每項標準注都會得出負的Kelly比例，因為每項賭注都有負優勢，成長最適的下注額是零。輪盤上的Kelly投注，是正式地說明賭場優勢頁所說的事：沒有任何下注額能讓負期望賭注使資金成長。

Kelly曾適用的情況

有偏差轉輪的玩家有優勢，也有下注額問題。Jagger、García-Pelayos家族與Eudaemons都必須決定，要在測得的優勢上押多少；下注不足會浪費優勢，下注過多則可能在優勢顯現前就破產。對每30次中1次的口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →，Kelly說每次旋轉應在該號碼押資金的0.57%：若資金為$10,000，每次約$57，典型成長率約為每次旋轉0.054%，或1,000次旋轉後×1.7。平均收益是其兩倍，即每次旋轉0.11%，但Kelly針對的是典型資金，而非會被少數幸運連勝拉高的平均資金。由於優勢估計並不確定，實務上通常選擇半Kelly。

著名輪盤玩家The Eudaemons

典型與平均

典型資金與平均資金的落差很大。考慮一個每25次中1次的口袋，即優勢44%，這是Thorp為其裝置提出的數字。Kelly在它上面押資金的1.26%。1,000次旋轉後，典型資金約成長為11.5倍；平均資金則被少數非常幸運的結果拉高至約249倍。下注超過Kelly會拉高平均值並降低典型結果：下注額為Kelly的兩倍時，典型資金只翻倍；為Kelly的兩倍半時，典型資金會縮水，儘管每項賭注仍帶有44%的優勢。少押的代價不大：一半下注額仍保留約四分之三的成長。

優勢只是猜測時

Kelly假設優勢已知。在賭桌上，優勢是估計值，而且估計通常過高。Epstein以Thorp的44%為基礎舉例：某個雙零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →轉輪的號碼在1,225次旋轉中出現49次，即每25次1次、44%的優勢、1.26%的Kelly下注額。但公平的雙零轉輪有38個號碼，其中最常出現的號碼在1,225次中達到49次以上的機率約為每九次一次。任何紀錄中最常出現的號碼，也是最受運氣幫助的號碼，所以即使確有偏差的口袋，在紀錄中看來也會比實際更好：這是贏家詛咒。若該口袋其實沒有偏差，Kelly下注額就只是一項平均損失5.26%的賭注。通常的做法是押Kelly的一部分，並持續計數，直到優勢能在新的紀錄中仍然成立（見「如何偵測輪盤轉輪偏差」）。

有優勢的人

知道優勢不等於善用優勢。Haghani與Dewey（2016）讓61人各以$25在半小時內投注一枚硬幣；他們被告知硬幣正面朝上的機率為60%，贏款上限為$250（玩家只在達到上限時才得知）。Kelly說每次都在正面押資金的20%，作者估計，穩定地押10–20%約有95%的機率達到上限。只有21%的玩家做到。28%破產，61人中有18人在一次擲幣押上全部資金，約三分之一最終低於起始的$25，平均賠付金額賠付中獎賭注返還的金額，以「X比1」表示，另加返還的下注本金。閱讀全文 →為$91。61人中只有五人聽過Kelly criterion。有優勢時，下注額決定你能否保住優勢；沒有優勢時，如公平轉輪，任何下注額都沒有幫助。

改用什麼

沒有優勢時，決定下注額是預算問題，不是成長問題：下注額 = 願意每次旋轉花的金額，依每小時預算和賭桌節奏得出（資金管理頁）。Kelly對一般玩家的貢獻是其答案的明確性：零。所有超過零的下注額都是遊戲的價格，由你選擇，不由任何公式最佳化。

關於分數Kelly與「資金管理」的說明

那些以「輪盤Kelly」名義販售、建議每次賭注固定使用某一資金百分比的系統，是下注額會縮小的固定下注策略固定下注每次旋轉下注相同金額。所有加碼系統比較的基準。閱讀全文 →。它們會損失總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →的2.70%，且因為隨著損失下注額也縮小，它們讓破產變慢，而不是變得不可能。這是讓預算更持久的合理方法；但它不是Kelly，Kelly會說應該停止。

固定下注輪盤策略

公式

問題