輪盤連續結果的機率
單一顏色的長連續結果很常見，但對下一次旋轉沒有意義。
連續五次紅：2.7%。十次：0.074%。在200次旋轉的場次中，單一顏色連續六次出現的機率超過一半。
連續損失多常發生
單零轉輪上的等額賠付注，在37次旋轉中有19次會輸。每一列顯示某一段指定旋轉全數輸掉的機率，以及每次損失後都加倍的馬丁格爾玩家到當時已損失多少。
| 連續損失 | 機率 | 約1／ | 目前已損失 | 下一次下注額 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
機率是19/37，每損失一次便自乘一次，從某一次指定旋轉起算。一個很長的場次有許多可開始這種連續損失的旋轉，因此整個晚上出現的機率遠高於單一列所示。
單次連續結果
接下來k次旋轉全為紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →的機率數學機率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →是（18/37）ᵏ。連續兩次：23.7%。連續五次：2.7%。連續十次：0.074%，約1,350分之1。連續二十次：1.8百萬分之1。連續二十六次，即Monte Carlo紀錄：137百萬分之1。這些是某段連續結果從特定一次旋轉開始的機率，幾乎沒有人真正問的是這個問題。
一個場次中
人們想問的是「我的場次中某處會不會出現連續k次？」，答案遠高於（18/37）ᵏ，因為200次旋轉的場次提供近200個連續結果的起點。紅或黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →任一顏色連續六次或以上，在200次旋轉場次中出現的機率約94%；連續八次或以上約47%；連續十次或以上約14%。預先指定顏色，機率會降至約75%、27%和7%。坐一晚的玩家每晚都會看到長連續結果。
馬丁格爾為何在意
每個負向加碼系統策略加碼系統根據先前結果改變下注額的任何規則。負向加碼在輸後提高，正向加碼在贏後提高。閱讀全文 →都有使其失效的連敗長度：以$10為基本額、桌限$500時為六次，費波那契策略費波那契遵循1、1、2、3、5、8、13…數列的加碼系統：輸後前進一步，贏後後退兩步。閱讀全文 →為十次，打賭注打注1–12、13–24或25–36，賠付2:1。閱讀全文 →注加三倍為五次。等額賠付連輸六次的機率為（19/37）⁶≈1.8%每次嘗試；200次旋轉的場次或有約100次嘗試，因此約五個這種長度的場次中有四個會出現斷崖。輪盤連續結果的機率正是此斷崖並不罕見的原因。
熱門與冷門號碼
相同算術適用於單號賭注單號單一號碼，賠付35:1。閱讀全文 →。300次旋轉中，每個號碼的期望出現次數為8.1；標準差數學標準差變異數的平方根；結果與期望值的典型距離。閱讀全文 →約2.8。每一次都會有某個號碼僅憑機率出現15次，某個只出現2次。結果看板標示「熱門」號碼，其實是在標示常態分布的頂端。實驗室解釋要多少次旋轉後熱門號碼迷思熱門號碼近期出現頻率高於預期的號碼。在公平轉輪上，它不預測任何事。閱讀全文 →才有意義（數千次，且來自同一已識別轉輪）。
獨立性才是重點
連續十次紅不會使黑更可能，也不會使紅更可能。兩者皆為18/37。連續結果是隨機序列的性質；沒有它們反而可疑：200次旋轉的序列中，若沒有超過連續四次的結果，會比出現連續十二次更能作為遭操縱的證據。
公式
問題
1913年八月18日Monte Carlo連續26次黑是著名紀錄。據報1943年一間美國賭場連續32次紅。考量賭場運行的旋轉次數，兩者皆符合機率。
無論怎樣都是18/37。按你的計畫下注，或不下注。
不是。偏差呈現為某些口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →在數千次旋轉中更常出現，不是呈現為某種顏色的連續結果。
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
歐式轉輪平均需要多少次旋轉，才使37個號碼中的每一個至少出現一次？
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答案 平均約155次旋轉；中位數為147。
一次等一個新號碼。第一次旋轉必定顯示新號碼。已看過1個號碼後，37個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →中有36個是新的，因此等下一個新號碼平均需37/36次旋轉。已看過k個號碼後，需37/(37 − k)次。
將等待時間相加：37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5次旋轉。
大部分等待都在最後。僅最後一個號碼平均需37次旋轉，最後五個約85次。在美式轉輪上，同一總和約為161。這是集卡問題；Wizard of Odds給出同樣平均值。
歐式轉輪旋轉37次、每個口袋一次時，預期會看到多少個不同號碼？
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答案 約23.6。大約三分之一的號碼，約13個，完全不會出現。
取一個號碼，例如17。每次旋轉它以36/37的機率未出現，所以37次都未出現的機率為(36/37)³⁷ ≈ 0.363。
每個號碼的機率相同，因此平均缺少37 × 0.363 ≈ 13.4個號碼，而37 − 13.4 ≈ 23.6個出現，許多出現兩次或更多。
輪盤玩家稱這為三分之一法則。它不是法則，只是重複出現的算術：一段和轉輪一樣長的序列中，約三分之一的號碼未出現，在公平轉輪與其他任何轉輪都一樣。在38個口袋上，占比也為(37/38)³⁸ ≈ 0.363；對大型轉輪，會收斂至接近1/e ≈ 0.368。
一位朋友給你兩份各50個顏色、紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →或黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →的清單，據稱來自去掉零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →的轉輪。一份換色25次，最長連串為六次。另一份換色35次，且從未超過三次。哪一份是編造的？
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答案 第二份。真實清單約換色24或25次。換色35次的清單約500份中出現一次，沒有長於三次連串的清單約100份中兩次。
每個新顏色都各以一半機率重複上一色或換色，所以49次換色機會平均有24.5次換色，標準偏離約3.5。三十五比平均高三個這樣的步距；公平轉輪約500份清單中出現一次這麼多換色。
連串也說明同一件事。真實的50項清單約98%的時間有至少四次的連串，最長連串最常見是五或六。
人們被要求編一份隨機清單時，換色太頻繁，因為四或五次連串在他們看來像模式。Taylor（2021）在學生編造的擲硬幣清單中顯示相同破綻：真正的隨機性比人們預期的更有連串。
一本賭場故事集講述一名玩家的號碼連續出現五次，並稱它為紀錄。在歐式轉輪上這有多罕見？在一家有20張賭桌、每張每小時旋轉40次、日夜運作的賭場某處，又應多常發生？
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答案 事先指定號碼連續五次：69百萬分之1。任一號碼首次出現後再連續四次：1.87百萬分之1。該賭場一年約旋轉7百萬次，因此應每年看到三或四次連續五次。
指定號碼每次旋轉以1/37機率出現，因此連續五次的機率為(1/37)⁵ = 69,343,957分之1。但沒有人事先指定號碼。無論第一次出現什麼，接下來四次必須重複它：(1/37)⁴ = 1,874,161分之1。
20張賭桌 × 每小時40次旋轉 × 24小時 × 365日 = 每年7,008,000次旋轉。每次旋轉都可開始一個連串，因此賭場預期每年有7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7次連續五次。
沒有這類官方紀錄，也不需要：在一張賭桌罕見的事件，放到整間賭場卻是例行之事，而故事都在發生的那張桌旁講述。Goldman（2007）的故事設定在雙零轉輪，數字為79百萬分之1及2.09百萬分之1。
漫畫點綴
長連續結果正是隨機的樣子。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.