長期收斂：輪盤中的大數法則
平均值如何朝−2.70%穩定，以及為何所需時間比直覺認為的更久。
隨著旋轉次數累積，每次旋轉的平均損失會收斂至−1/37，且離散程度按1/√N縮小。進行1,000次紅色下注後，平均值通常在期望值的±3%以內。
大數法則
獨立賭注的累計平均值會趨近期望值數學期望值長期而言，每筆賭注的平均結果。所有標準歐式賭注都是下注額的−1/37。閱讀全文 →。以一單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →進行N次等額賠付注旋轉後，每次旋轉平均結果的期望值為−1/37，標準差數學標準差變異數的平方根；結果與期望值的典型距離。閱讀全文 →為1/√N。N = 100時，這個離散程度是下注額的10%，幾乎是2.7%訊號的四倍。N = 1,000時，它是3.2%，大致與訊號相同。N = 10,000時，它是1%，優勢清晰可見。優勢在一個場次中看不見，在一年中卻無可置疑。
什麼會收斂，什麼不會
每次旋轉的平均值會收斂。總額不會：隨著N增加，它會離零愈來愈遠，期望上約為N的2.7%，其周圍的離散程度為√N。一名玩家若以$10進行10,000次旋轉，預期會損失$2,700，上下約$1,000。紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →的累計比例早已穩定在48.65%附近；累計餘額卻沒有穩定在任何位置。
- 第10百分位數 −$440
- 第25百分位數 −$280
- 中位數 −$140
- 第75百分位數 +$0
- 第90百分位數 +$140
為何直覺失準
人們以為優勢會很快顯現，因為2.70%聽來很多；又因大數法則數學大數法則隨試驗次數增加，獨立結果的平均值會收斂於期望值。閱讀全文 →說平均值會收斂，而以為長期結果會「拉平」。兩種直覺都誤判了尺度：相對於單次旋轉的變異數數學變異數衡量結果在期望值周圍分散程度的數值。單號高，等額賠付注低。閱讀全文 →，優勢很小（σ = 1單位，而期望值 = 0.027），所以要(1/0.027)² ≈ 1,400次旋轉才會有一個標準差的可見度。而平均值的收斂不會把總額拉回來；它只是稀釋過去的波動。
其他賭注的收斂
對單號賭注單號單一號碼，賠付35:1。閱讀全文 →，σ = 5.84，因此同樣計算得出，要(5.84/0.027)² ≈ 47,000次旋轉，優勢才會達到一個標準差。一名單號玩家可以玩上數年，自己的紀錄仍無法把優勢與運氣區分開來；同時仍精確支付與數週內即可看見的紅色玩家相同的2.70%。
對檢驗系統的意義
任何宣稱系統有效的人，都應能展示10,000次或更多次旋轉的有紀錄正平均值。在1,000次旋轉時，等額賠付注呈正平均值在虛無假設下是五分之一的事件；在100次時，幾乎和擲硬幣一樣。本站的模擬器能在一秒內執行2,000個自選長度的場次，這比任何見證都更有證據力。
公式
問題
隨著你繼續遊戲，再次領先的機率數學機率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →會趨近於零。總額會無界地下滑。
不是。它表示過去的波動會成為更大樣本中較小的比例。
對等額賠付注，約10,000次後優勢才會清晰可見。對單號，約50,000次。
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
兩位朋友玩20回合公平遊戲數學公平遊戲任何一方都沒有優勢的遊戲：每一筆賭注的期望值都是零。閱讀全文 →，擲硬幣，或押紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →對黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →而零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →退回，並記錄累積分數。數出每人領先的回合數（平手算作緊接之前領先者）。哪一種更可能：領先平分為10回合對10回合，還是一位朋友領先全部20回合？
顯示解答
答案 一位朋友領先全部20回合遠更可能：計入任一朋友為35.2%，而均分10對10為6.1%。
公平累積分數在2k回合後持平的機率為u = C(2k, k)/2²ᵏ：10回合後為0.246，20回合後為0.176。經典結果反正弦定律指出，在2n回合中，一名指定朋友恰好領先2k回合的機率是u(2k) × u(2n − 2k)。
領先全部20回合：每位朋友的u(20) × u(0) = 0.176，任一位為35.2%。均分：u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%，是所有分配中最不可能的。
因此在公平遊戲中，領先很少易手。整晚一直領先或一直落後的玩家並未看見任何不尋常的事，這也對轉輪或技巧沒有任何說明。Epstein（2013）為較長遊戲給出相同法則：一半時間中，運氣較好的一方在超過85%的遊戲時間領先。
漫畫點綴
平均值會收斂。總額只會離開。
來源
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.