問題：兩個打注與一枚籌碼

問題

你在第一打賭注打注1–12、13–24或25–36，賠付2:1。閱讀全文 →下注$10，第二打下注$10，並在零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →放$1。（a）可能結果及其機率為何？（b）期望值數學期望值長期而言，每筆賭注的平均結果。所有標準歐式賭注都是下注額的−1/37。閱讀全文 →是多少？（c）零號籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注檯面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →有改善這項賭注嗎？

解答（a）與（b）

結果如下：球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →落在1–24（24個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →）時，一個打注賠$20，另一個損失$10，零號損失$1：淨額+$9。球落在25–36（12個口袋）時，兩個打注都損失，零號也損失：−$21。球落在零號（1個口袋）時，打注損失$20，零號賠$35：+$15。期望值 = (24 × 9 + 1 × 15 − 12 × 21)/37 = (216 + 15 − 252)/37 = −21/37 ≈ 每次旋轉−$0.57，下注額$21：2.70%。

解答（c）

沒有零號籌碼時：(24 × 10 − 13 × 20)/37 = (240 − 260)/37 = −20/37 ≈ 下注$20時−$0.54，同樣是2.70%。零號籌碼把零號的−$20結果改為+$15（每37次有一次改善$35，值每次旋轉$0.95），並在其他36次旋轉各成本$1（值每次旋轉$0.97）。淨變化：每次旋轉−$0.03，即額外一美元的2.70%。這份保險的定價和其他一切完全相同。

為何可一般化

期望值可相加。任何同時賭注的組合，其期望值等於組成部分期望值之和；每一部分都是其下注額的−1/37。因此，任何組合都是總下注額的−1/37。無論在投注檯面設備投注檯面賭桌上印製的下注格。也稱 table、felt、cloth。閱讀全文 →上如何安排籌碼、放多少枚，都逃不過這個結果；Bet Builder工具會對你能放置的任何組合確認它。組合改變的是分布：你多常贏、贏多少，以及最壞情況有多糟。

更難的延伸

找出一個涵蓋全部37個號碼的標準賭注組合。三個打注（每個$10）加上零號$1：任何1–36的淨額為−$1（一個打注賠$20，另兩個損失$20，零號損失$1），零號的淨額為+$35 − $30 = +$5。期望值 = (36 × (−1) + 5)/37 = 下注$31時−31/37：2.70%。你能保證永遠不會感到意外，仍要為這項特權付出相同的價格。

公式

問題