The Eudaemons
物理系學生、一個用現金買下的賭場轉輪，以及一台小到能穿到賭桌前的電腦。
1976年至1981年間，Santa Cruz一群物理系學生製造數位電腦，計算球與轉子時間，並在投注仍開放時標出轉輪的扇區。測試顯示有44%的優勢，第一次較長的場次約有25%。硬體不斷故障，裝入鞋中的版本於1981年受電氣雜訊干擾而失敗，他們贏得數千美元。
1975年Las Vegas酒吧裡的猜想
1975年夏天，物理系學生Norman Packard與朋友Jack Biles在Las Vegas花了兩個月以算牌方式玩二十一點，幾乎剛好損益兩平。最後一起喝酒時，Biles說他敢打賭物理學可以擊敗輪盤，Packard想起Edward Thorp《Beat the Dealer》中一句晦澀的話，提到一種輪盤方法。兩人借了一台錄音機，站在多家賭場的轉輪旁，每次球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →經過固定點就輕拍麥克風。把輕拍聲畫在方格紙上，顯示球以規律方式減速和落下。Packard的學校朋友、University of California, Santa Cruz研究生Doyne Farmer一開始稱那是浪費時間，直到自己計算後才發現：能將球的時間計到約十分之一秒的人，理論上應可將落點預測到幾個號碼內。
物理實驗室中的轉輪
1976年春天，Farmer與Dan Browne在Reno一家工坊以現金$1,500買下翻修過的賭場轉輪，並稱是兄弟會派對用。幾個月間，他們在夜裡將它搬進大學教學實驗室，以紅外線感測器、自製電子鐘及一台由球撞擊金屬聲觸發的相機測量。他們的發現至今仍是一次旋轉中重要因素的良好簡表。空氣造成大部分減速，超過球道的作用。只要傾斜十分之一英吋的轉輪，就會改變球離開球道的位置；在傾斜轉輪上，球傾向從高的一側脫離，使預測更容易。球也有差異：Teflon球的減速速度是撞球複合材料球的兩倍。而球離開球道後仍會彈跳，平均最多不超過一圈的四分之一至三分之一。這個彈跳是整個計畫成敗所繫的問題，但其範圍不夠大，無法消除預測。夏季結束時，他們估計可能有44%的優勢，正是Thorp給自己裝置的數字。
公司與派
他們將這項事業命名為Eudaemonic Enterprises，名稱來自希臘語，意指由理性度過的人生之幸福。每名參與者未來都按投入工時比例，從贏款中取得報酬：一塊他們稱作Eudaemonic Pie的派。贏款原本要用於支持一個由朋友依自己方式做科學的社群。
腋下的電腦，1976–1978
第一台機器來自1976年九月郵寄到貨、價格$250的套件電腦，採用Apple電腦也使用的6502處理器。此前從未寫過程式的Farmer，將球和轉子設備轉子轉輪中承載口袋的旋轉部分。閱讀全文 →的方程式寫入其中。賭場版本綁在身體上，放在腋下；女性則放在胸罩裡。轉輪旁的玩家用大拇趾按開關：一隻腳趾標記零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →，之後每次球與零號通過固定點時再標記；另一隻腳趾在程式設定間切換。讓程式適配特定轉輪，需要安靜地按約二十分鐘。然後每次旋轉開始幾秒後，電腦會以小型柱塞頂住皮膚產生的震動，指出轉輪的八個扇區轉輪區段轉輪上連續的一段口袋弧線，不同於投注檯面上的一組號碼。閱讀全文 →之一，或發出「不下注」訊號。賭桌較遠處的另一位玩家，以微弱的無線電訊號連接，會感受到同樣的震動，並覆蓋該扇區的三或四個號碼；有時會改用轉輪上鄰近的號碼，使模式較難辨識。
第一次前往Lake Tahoe和Reno的行程在1977年十二月，幾乎全是設備故障。數週後在Las Vegas市中心的Golden Gate，Farmer獨自以每枚籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注檯面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →十美分玩了四個半小時。利潤很小，但經過數百次旋轉後，他與Browne謹慎估計優勢為25%。
1978年的夏天
那年夏天，團隊連續數週輪班投注，在市中心和Strip每天兩個場次，且不會連續兩晚到同一家賭場。他們為每間賭場做筆記：轉輪及其傾斜程度、工作人員和換班情況。Las Vegas轉輪的傾斜程度恰好有利，而深夜的遊戲很慢，正是電腦所需，因為慢轉子和快球會留下更多時間測量和下注。有些夜晚表現良好。在Circus Circus，凌晨二點更換荷官人物荷官輪盤賭桌的荷官。閱讀全文 →，將一個虧損場次變成每枚籌碼25美分、贏得數百美元的結果。也有持續不斷的失敗：鬆脫的電線、隨溫度漂移的無線電連結，以及從縫進衣服的天線線材傳來的電擊。某晚柱塞卡住，線路過熱，Ingrid Hoermann寧願忍著灼傷繼續玩，也不願離開一張正在贏錢的賭桌。賭場人員注意到贏錢，卻從未察覺方法；有一次荷官因一疊逐漸增加的籌碼而惱火，抓住正在轉動的轉輪，猛力轉了一下。
十三個月內，他們前往Nevada八次，以十美分與二十五美分的賭注為主，贏得數千美元。1978年十二月在California Club的場次，三小時贏得超過$1,000，讓他們相信這個方法值得配備更好的硬體。
Packard和Biles在Las Vegas以錄音機記錄輪盤球的時間。
在Reno買下賭場轉輪；一個夏天的測量；第一台套件電腦。
第一次賭場行程，Lake Tahoe和Reno。設備故障。
Golden Gate，Las Vegas：每枚籌碼十美分，四個半小時，優勢估計為25%。
在Las Vegas用綁在身上的電腦投注數週。
California Club：三小時超過$1,000。
重製電腦以裝進一隻鞋內。
Las Vegas：電氣雜訊淹沒無線電連結。計畫停止。
Nevada禁止預測裝置。出版《The Eudaemonic Pie》。
鞋中的電腦，1980–1981
為了移除身上的電線，他們決定將所有裝置放進鞋裡。新近畢業的物理系學生Mark Truitt曾在軍用雷達工作面試中離席，他花了一年半投入此事。讓它能裝下的想法來自一位大學技術員：在兩次預測間關閉電腦，就可大幅減少電池需求。Truitt將晶片裝在兩塊自己蝕刻的電路板上，一塊反扣在另一塊上，再以硬蠟填滿間隙，製成約二英吋乘四英吋、厚半英吋且可行走踩踏的方塊。電池、天線和三個蜂鳴器中的兩個放入鞋跟。三個不同速度的蜂鳴器可發出九種訊號：八個扇區和「不下注」。一位鞋匠掏空普通皮鞋，沒有多問。
1981年十一月，Farmer和作家Thomas Bass帶著這雙鞋和$2,500前往Las Vegas。第一張賭桌的第一次預測就中，接著蜂鳴器開始隨機作響。賭場充滿來自監視器、霓虹燈和吃角子老虎機的電氣雜訊，淹沒了鞋子之間微弱的無線電連結；汽車旅館房間內的電視機也有同樣影響。四人花數天維修仍未解決，計畫至此停止。設備被放進Santa Cruz地下室的一只行李箱。
44%代表什麼
在美式轉輪上，單號賭注單號單一號碼，賠付35:1。閱讀全文 →平均每38次旋轉中獎一次，賠付35比1，玩家成本為5.26%。同一賭注每25次旋轉中獎一次的價值，就是44%的優勢：每下注25枚籌碼可回收36枚。因此電腦從不需要知道號碼。它只需讓所選號碼的開出頻率約為機率所允許的一又二分之一倍。
為什麼很大的優勢感覺仍像博彩
35比1的優勢回報緩慢且不均。一位團隊顧問警告，以每個號碼$100下注的玩家，在優勢顯現前可能已損失$10,000或$20,000；算術同意這點：即使單號有44%優勢，玩家在100次旋轉後仍有接近四分之一的機率虧損。這就是Eudaemons從十美分開始、以贏款建立資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →的原因，也是1978年加入的Alan Lewis把時間用於計算下注額的原因。Farmer後來認為他們過於謹慎。小額下注讓他們安全，也意味著多年的工作所得很少。
成本與回報
約$15,000用於零件、工具和Truitt的薪資，其中大部分來自Farmer與後來嫁給他的律師Letty Belin。Farmer記有3,500小時工時，Truitt為3,000小時，Packard為2,000小時。與此相對的是小額下注贏得的數千美元。1983年，Farmer在一本博彩雜誌刊登尋求投資者的廣告，描述一個已證實在賭場有20至40%優勢的原型。他們投注時，Belin查過Nevada法律，沒有發現禁止使用裝置預測遊戲的規定；1985年五月，該州將使用該裝置定為犯罪。留下來的是科學。製造電腦使Farmer、Packard及其朋友受訓研究混沌，這也是他們成名的領域。
今日閱讀這本書
最後一次行程中負責下注的Thomas Bass，在《The Eudaemonic Pie》（1985）講述這個故事，內容來自對團隊的長期訪談，也是本頁的來源。書中簡短的輪盤歷史沒有對該計畫的描述那麼可靠。它重述Jagger僱用六名文書的故事，這可追溯至一本1901年的書，沒有更早的來源（參見Joseph Jagger），並將Thorp和Shannon的賭場測試定在1962年，而Thorp本人的記錄指向1961年夏天。
問題
沒有。他們以十美分和二十五美分下注贏得數千美元，卻花了約$15,000和數千小時。
他們投注時，Nevada沒有禁止用裝置預測遊戲的法律。自1985年起有此法，多數有賭場的地方現在也有。
在真人攝影棚等球一推出就停止下注的地方不可行，而且在多數司法管轄區將此類裝置帶入賭場是犯罪。
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
The Eudaemons認為，他們的電腦在美式轉輪的單號賭注單號單一號碼，賠付35:1。閱讀全文 →上有44%的優勢，而該注以35比1賠付。要使這成立，選定的號碼必須多常中獎？若球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →同樣可能落在其餘任何一個口袋，預測必須排除38個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →中的多少個？
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答案 每25次旋轉一次。這相當於排除13個口袋，留下25個。
一枚中獎的籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注檯面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →連同額外35枚返還：36枚籌碼。若號碼在n次旋轉中中獎一次，押下n枚籌碼返還36枚，因此賭注價值為36/n − 1。
令它等於0.44：36/n = 1.44，所以n = 25。沒有預測時n為38，賭注價值為36/38 − 1 = −5.26%。
現在假設預測排除k個口袋，球同樣可能落在其餘38 − k的每一個。押在其中一個的一枚籌碼在38 − k次旋轉中中獎一次。要達到44%，需有38 − k = 25，所以k = 13：略多於轉輪的三分之一。
書中引述Farmer稱，40%來自排除八個口袋。依這個簡單模型，八個會得36/30 − 1 = 20%，所以實際情況必定並不均勻：其餘某些口袋遠比其他口袋更可能出現。
排除的口袋留下的口袋單號的價值038−5.26%2360%830+20%1325+44%1919+89%假設你的號碼確實在25次旋轉中中獎一次，賠率為35比1，優勢44%。每次旋轉押一枚籌碼。100次旋轉後落後的可能性多高？500次後呢？
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答案 100次旋轉後約23%，500次後仍約6%。
100次旋轉後已押下100枚籌碼，每次中獎返還36枚。兩次中獎返72枚，損失28枚；三次返108枚，贏8枚。因此，若中獎至多兩次便會落後。
100次旋轉中完全未中的機率是(24/25)¹⁰⁰ = 1.7%。恰好中一次：100 × (1/25) × (24/25)⁹⁹ = 7.0%。恰好兩次：4,950 × (1/25)² × (24/25)⁹⁸ = 14.5%。合計23.2%。
500次旋轉後，須中14次才能領先（14 × 36 = 504），平均為20次。中13次或更少的機率約6.2%。
這是長賠率賭注的另一面。優勢很大，但約每四輪100次旋轉中就有一輪不會顯現。不確定優勢是否存在的玩家，無法把壞的一輪和故障的電腦區分開來；這正是The Eudaemons常處的境況。
旋轉次數領先所需的中獎次數落後的機率50240.1%100323.2%200618.6%500146.2%書中說，若有44%優勢，每小時以$100下注50次，應每小時賺$2,200。檢查一下。再算出同一優勢在該組實際下注額——每次旋轉一角——下每小時賺多少。
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答案 每次旋轉$100時，$2,200正確。每次旋轉一角時，每小時為$2.20。
優勢是所有下注額的一個比例。每次旋轉$100、每小時50次，總投注額為$5,000，其中44%是$2,200。
每次旋轉10美分時，一小時總投注額為$5，$5的44%是$2.20。即使每個號碼一角、覆蓋四個號碼，兩人每小時也只是$8.80。
該組低額下注，因為他們從零開始建立資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →，也因為如上題所示，35比1的44%優勢仍可能連輸數小時。這份謹慎的代價是：方法即使運作得完美，報酬仍可能低於一份工作。
漫畫點綴
物理學奏效了，霓虹燈贏了。
來源
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”
- Nevada Revised Statutes, chapter 465.