特殊輪盤轉輪

趣味數學

請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。

1. 在Australia開發的Royal Roulette有50個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →：從2到K的48張牌，加上一張A和一張鬼牌。單張牌賠47比1，兩張23比1，三張15比1，四張11比1，六張7比1，八張5比1，十二張3比1，十六張2比1，二十四張1比1。什麼規則產生這些賠付金額賠付中獎賭注返還的金額，以「X比1」表示，另加返還的下注本金。閱讀全文 →，每種賭注成本是多少？

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   答案 每種n張牌的賭注賠(48 − n)/n比1，因此每種賭注成本皆為2/50 = 4%。

   以幾種賭注驗算規則：47/1 = 47、36/12 = 3、32/16 = 2、24/24 = 1。它符合全部九種。規則將轉輪按48個口袋定價，因此A與鬼牌是兩個莊家口袋，正如美式轉輪上的0和00。

   50個口袋中有兩個莊家口袋，賭場優勢為4%。「歐式」版本移除鬼牌並保留賠付：49個口袋中有一個莊家口袋，賭場優勢為2.04%。

2. Super 62有一種賭注，押所選數字出現在中獎號碼中。為普通美式轉輪設計同樣賭注。1到36的號碼中，每個數字出現於多少個號碼？哪些賠付可維持通常的5.26%？

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   答案 只有出現在3或4個號碼的數字可有整數籌碼賠付（11比1和8比1）。數字1、2和3無法以整數籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注檯面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →公平賠付。

   數一數號碼。數字1出現在1、10到19、21和31：共13個號碼。數字2也出現在13個號碼，數字3則出現在10個。數字4、5和6各出現在四個號碼（4、14、24、34），7、8和9各出現在三個。

   涵蓋n個號碼的賭注，若要維持美式賭場優勢，須賠(36 − n)/n比1。四個號碼為8比1，三個號碼為11比1，兩者皆為整數。13個號碼時為23/13，約1.77比1；10個號碼時為2.6比1。將1.77向下取整為7比4，賭注成本為5.92%；向上取整為2比1，玩家有2.63%的優勢。將2.6向下取整為5比2，成本為7.89%。

   數字0可自行選擇：僅10、20和30時，以11比1賠付成本為5.26%；加上0和00便是五號賭注，以6比1賠付、成本為7.89%，如同籃子注賭注籃子注在單零轉輪上：以一枚籌碼押0、1、2、3，賠付8:1。也稱前四注、quatre premiers。閱讀全文 →。

   數字號碼規則表示可賠付賭場優勢

   1, 2131.77比17比45.92%

   3102.6比15比27.89%

   4, 5, 648比18比15.26%

   7, 8, 9311比111比15.26%

3. 100 To 1 Roulette在有100個號碼和5個莊家符號的轉輪上，對多數賭注賠(100 − n)/n比1。它的賭注涵蓋1、2、3、4、5、10、15、20或50個口袋，並分別賠100、49、32、24、19、9、11比2、4和1比1。單號賭注單號單一號碼，賠付35:1。閱讀全文 →和涵蓋15個口袋的Avenue違反了規則。還有哪個賭注違反規則，成本是多少？

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   答案 三口袋賭注：規則表示32⅓比1，實際賠32比1，成本為5.71%而非4.76%。

   以規則驗算各賠付：98/2 = 49、96/4 = 24、95/5 = 19、90/10 = 9、80/20 = 4和50/50 = 1，均符合。三個口袋時，規則為97/3 = 32⅓，任何籌碼都無法如此賠付，故向下取整為32。

   賭注在105次旋轉中中3次，每次返還33單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →（包括下注額）：每105單位總投注額返還3 × 33 = 99單位，損失為6/105 = 5.71%。

4. 已發表的Roulette 73設計有72個號碼及一個零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →，每種賭注賠(72 − n)/n比1。它的24個灰色號碼可以14枚籌碼覆蓋：4個單號和10個分注賭注分注兩個相鄰號碼，賠付17:1。閱讀全文 →。這個14枚籌碼的賭注成本是多少？

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   答案 14枚籌碼的1.37%，和該轉輪上每種其他賭注一樣。

   先用較長算法：單號賠71比1，分注賠35比1。若4個單號之一出現，贏71並輸另外13枚籌碼：+58。若20個分注號碼之一出現：+35 − 13 = +22。其他49個口袋時，輸掉全部14枚。73次旋轉的平均：4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14單位，即每枚籌碼的1/73。

   較短算法：期望值數學期望值長期而言，每筆賭注的平均結果。所有標準歐式賭注都是下注額的−1/37。閱讀全文 →可相加。每枚籌碼都是普通賭注，各自損失自身的1/73，因此14枚籌碼損失14/73。合併賭注只改變結果如何分散，從不改變成本。

5. Super 62有60個號碼、0和00，並賠(60 − n)/n比1。其設計者還畫出有一、三和四個莊家口袋的版本。Alphabetic Roulette在25個口袋上賠(24 − n)/n比1，另有Y與Z各自占一個口袋的變體。請為全部五種定價。

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   答案 一到四個零號時：1.64%、3.23%、4.76%和6.25%。Y與Z分開的Alphabetic：7.69%。

   這些版本都保留賠付，只改變莊家口袋數，因此賭場優勢為莊家口袋數除以全部口袋數。

   一個零號、61個口袋：1/61 = 1.64%。兩個、62個口袋：2/62 = 3.23%。三個、63個口袋：3/63 = 4.76%。四個、64個口袋：4/64 = 6.25%。每增加一個零號，成本約增加一個半百分點。

   Alphabetic按24個字母賠付。Y與Z共用一個口袋時，莊家在25個中占1個，即4%。Y與Z分開時，莊家在26個中占2個，即7.69%，與三零轉輪一樣。將一個口袋分成兩個，成本幾乎翻倍。

   轉輪口袋莊家口袋賭場優勢

   60個號碼，一個零號6111.64%

   Super 626223.23%

   60個號碼，三個零號6334.76%

   Super 646446.25%

   Alphabetic2514.00%

   Alphabetic，Y與Z分開2627.69%

6. 一個古董轉輪有18個口袋：1到16、0和00。奇數及0為紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色，偶數及00為黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →色，16個號碼排在4乘4的投注檯面設備投注檯面賭桌上印製的下注格。也稱 table、felt、cloth。閱讀全文 →上。設計一個使每種賭注賭場優勢相同的賠付表金額賠付表每種賭注或結果的賠付清單。在機器與側注中，這裡決定賭場優勢。閱讀全文 →。還有，既然0是紅色，為什麼它必須使紅色賭注輸掉？

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   答案 賠(16 − n)/n比1：單一號碼15比1、兩個號碼7、四個3、八個1。每種賭注成本為11.11%。若0使紅色賭注中獎，紅色會成為公平賭注。

   按不存在0及00的情況為轉輪定價。涵蓋n個號碼的賭注在18次中中n次，賠(16 − n)/n比1，因此每18單位總投注額返還16單位（包括下注額）。每種賭注成本為2/18，即11.11%。

   投注檯面的自然賭注可得整數：單一號碼15比1，兩個相鄰號碼7比1，一列或一欄賭注欄注投注檯面一個垂直欄中的十二個號碼，賠付2:1。閱讀全文 →四個號碼3比1，兩列，或單、雙、低或高的八個號碼1比1。三號賭注需4⅓比1；向下取整為4比1時，成本為16.67%。

   紅色涵蓋八個奇數。若0雖為紅色也使紅色賭注中獎，紅色便以1比1涵蓋18個口袋中的9個：即沒有任何優勢的公平遊戲數學公平遊戲任何一方都沒有優勢的遊戲：每一筆賭注的期望值都是零。閱讀全文 →。莊家口袋唯有使除自身賭注外的每種賭注都輸，才能帶來賭場優勢。