破產風險
在達成目標前輸掉全部資金的機率。
對等額賠付注，破產風險遵循賭徒破產公式。資金$500、下注額$10、目標$600時，達成目標的機率約57%，其餘會破產。
問題
你有a個單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →的資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →，想達到a+b個單位，每次以一個單位押在勝率機率數學機率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →p＝18/37、敗率q＝19/37的等額賠付注賭注等額賠付注紅／黑、單／雙、高／低。18個號碼，賠付1:1。閱讀全文 →。在資金歸零前達成目標的機率是多少？Pascal、Fermat和Huygens在1650年代已推導出答案，這是機率論最早的結果之一。
賭徒破產公式
P（達成目標）＝（1−（q/p）ᵃ）／（1−（q/p）ᵃ⁺ᵇ）。破產風險數學破產風險達到目標或旋轉次數前，損失全部資金的機率。閱讀全文 →是一減去該數值。q/p＝19/18≈1.0556時，該比例會隨單位數呈指數成長，故公式嚴厲懲罰小單位：抵達目標所需的下注越多，途中付出2.70%通行費的次數越多。
如何解讀
較小的單位更不利。用$10下注額試圖將$500加倍，成功機率為6%；一次下注$500則為48.6%。在負期望遊戲中，大膽玩法、較少且較大的下注，能最大化達成目標的機率，因為它最小化賭場優勢的套用次數。但它也最大化發生在你身上的變異數數學變異數衡量結果在期望值周圍分散程度的數值。單號高，等額賠付注低。閱讀全文 →，並使晚上的遊戲很快結束。此定理由Dubins與Savage於1965年證明，稱作「大膽玩法最優」。
問題從何開始
這個問題比輪盤更早。1656年Pascal給Fermat一道謎題：兩名玩家各以12枚計數器開始擲三顆骰子；擲出11時，計數器往一方移動，擲出14時往另一方移動。兩人都解出題目，而Huygens透過數學家Pierre de Carcavi的信得知此題，於1657年在第一本機率論著作中將其列為第五題，附答案但沒有證明。十一有27種擲法，十四僅有15種，因此每枚計數器往第一名玩家方向移動的比例是14次中有9次；上述公式在雙方各12枚計數器時，令他贏得全部的可能性約為輸掉全部的1,157倍。2.70%的優勢小得多，但同一公式顯示它在多次下注後的影響。
一次真正的大膽下注
2004年四月，英國年輕人Ashley Revell賣掉幾乎所有財物，包括衣服，帶著$135,300到Las Vegas的Plaza。小額下注幾次後，他一次把全部金額押在紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →。球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →落在紅7，他帶著$270,600離開。這一次旋轉在雙零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →轉輪的勝率是47.37%，平均成本為$7,121，即一筆賭注的5.26%優勢。若拆成每次$10下注，要達成相同目標幾乎無望。大膽玩法不會讓賭注變好；它使整段過程儘可能短。
沒有目標的破產風險
若只玩到破產，或在N次旋轉後停止，問題便是「我的資金在N次旋轉內觸及零的機率是多少？」一般N沒有封閉形式，但本站模擬器可算出：$500資金、每次$10押紅，在100次旋轉中幾乎不會破產（低於1%），500次約9%，5,000次約95%。沒有停止規則時，機率趨近100%，這就是賭場優勢數學賭場優勢賭場平均保留每筆下注額的比例：歐式輪盤為2.70%。閱讀全文 →的長期版本。
- 第10百分位數 −$500
- 第25百分位數 −$500
- 中位數 −$500
- 第75百分位數 +$0
- 第90百分位數 +$350
持續多久，以及領先多少
另有兩項經典結果回答玩家真正會問的問題。沒有目標時，歐式轉輪的固定等額賠付注，平均每個資金單位可維持37次旋轉；美式則19次，因為每次旋轉平均拿走1/37個單位（美式轉輪為1/19）：100個單位平均維持3,700次旋轉，雖然此類場次的一半會在3,134次內結束（見Session Length and Cost）。不論資金多大，歐式轉輪曾經領先k個單位的機率為（18/19）ᵏ。領先一個單位為95%，領先十個為58%；但無論資金多深，都不可能有一半機率曾領先13個單位；美式轉輪的機率為（9/10）ᵏ，領先7個單位時已低於一半。
取得五五波機率的資金
把問題反過來：要在輸光前，至少有五五波機率贏得某個金額，必須帶來多少？小額贏款不需太多；金額較大時，所需資金會急遽增加，超過某點後沒有任何資金足夠，因為即使無限資金，也無法有五五波機率曾經領先那麼多。Taylor（2021年）換個說法：在美式轉輪上，要有五五波機率達到100個單位，必須以94個開始，冒94個的風險來贏6個。歐式則需88個。
實務教訓
先決定目標。若目標是特定贏款，下注要大且少。若目標是玩一整晚，下注要小，並接受賭場優勢將從大量總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →收取2.70%。若兩者都是目標，就必須犧牲某件事，通常是目標。
公式
問題
趣味數學
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你有$100，想得到$1,000，只押紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色。方案一：每次押$1。方案二：先把所有錢都押上直到超過$500，接著只押剛好能達到$1,000的金額。哪個方案較好，差多少？
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答案 方案二，遠勝許多。約9.0%的時間達到$1,000，接近公平情況的10%。方案一約10²²次中只成功7次。
在公平遊戲數學公平遊戲任何一方都沒有優勢的遊戲：每一筆賭注的期望值都是零。閱讀全文 →中，無論怎麼做，從$100到$1,000的機率是十次中一次，因為你的資金平均值維持$100。
賭場優勢從每一注拿走2.70%，所以總投注額越少，越接近十次中一次。方案二在少數幾注內決定結果：$100變$200、$400、$800，然後只需$200。其成功機率約9.0%。方案一需要數千注才結束，單注很小的賭場優勢加總後幾乎必然破產。
這是Dubins–Savage結果最簡單的形式（Epstein，2013）：在偏向賭場的遊戲中，押必要的最大金額、以盡可能少的次數下注。
你有$500，想得到$1,000，拿到後立即停止。你選一種賭注，一直重複直到中獎一次或錢用完。哪一種給出最高機率？
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答案 紅色單押$500：48.6%。每一種把錢分散於較小賭注的方案都更差。
選擇每筆下注額，使一次中獎便足夠：單號賭注單號單一號碼，賠付35:1。閱讀全文 →押$30贏$1,050，分注賭注分注兩個相鄰號碼，賠付17:1。閱讀全文 →押$60贏$1,020，依此類推。接著計算錢用完前至少一注中獎的機率。十六個$30單號全未中的機率為(36/37)¹⁶ = 64.5%，所以達到$1,000的機率為35.5%。
表格列出每一種賭注。紅色最佳，因為一注即能達成，因此賭場優勢只在$500上付一次。六線注賭注六線注相鄰兩列的六個號碼，賠付5:1。法文：sixain。閱讀全文 →第二，因為只需三注。單一打賭注打注1–12、13–24或25–36，賠付2:1。閱讀全文 →注最差，是12/37的機會；即使以$250單位金額單位系統或玩家採用的基本下注額。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭桌。閱讀全文 →持續下注直到有$1,000或更多，打注也只有46.4%的時間達成。
Bollman（2024）為美式轉輪建立同樣表格。他的打注列有誤：應為12/38 = 31.6%。
賭注下注額 × 賭注次數達到$1,000的機率單號$30 × 1635.5%分注$60 × 835.9%街注$90 × 534.5%角注$125 × 436.7%六線注$166, $166, $16841.2%打注$500 × 132.4%紅$500 × 148.6%你每次旋轉在紅色押一單位，使用永遠不會用盡的資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →。第一次旋轉後，你領先一單位或落後一單位。你最終恰好再度打平的機率是多少？
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答案 37分之36，即97.3%。美式轉輪上是38分之36，即94.7%。
若第一次旋轉中獎（37次中18次），你領先一單位，而賭場優勢會把每個無盡場次往下拖，因此遲早會回穿打平：這是必然。若它輸掉（37次中19次），你必須爬回一單位，最終領先一單位的機率是18/19（見上表）。
合計：18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37。
一般而言，機率為一減去每次旋轉中獎和輸掉機率之差：歐式轉輪為1 − 1/37，美式為1 − 2/38。沒有零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →的遊戲中，差為零，機率是1：分數總會回到打平。Epstein（2013）給出一般規則。
Pascal的1656年問題：兩位玩家擲三顆骰子，各自以12枚籌碼開始。每擲出11，一枚籌碼移給第一位玩家；每擲出14，一枚移給第二位；其他點數不算。第一位玩家贏得全部24枚的機率多高？若改為你每次旋轉在紅色押1單位，朋友作為莊家，雙方各12單位，贏得全部24單位的機率多高？
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答案 第一位玩家約在1,158次中贏1,157次。你押紅色時，贏得全部24單位的機率只有約34%。
三顆骰子有27種方式擲出11、15種方式擲出14，因此每次移動的籌碼有42次中的27次給第一位玩家，即14次中的9次。雙方各從12開始，贏得全部的機率是1/(1 + r¹²)，其中r是對方機率與己方機率的比率。
對第一位玩家，r = 5/9，(5/9)¹² ≈ 0.00086，因此機率約0.99914：賠率為9¹²比5¹²，或282,429,536,481比244,140,625，約1,157比1。Huygens在1657年精確印出這些數字。
押紅時，由於零號r = 19/18，(19/18)¹² ≈ 1.913：你的機率是1/2.913 ≈ 34.3%。硬幣會給50%。每注2.70%的優勢，經過所需的許多賭注累積成16個百分點的差距。
漫畫點綴
大膽玩法最優，但也很快結束。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”