問題：生日轉輪
多少次旋轉後會有某個號碼重複？遠比多數人猜的少。
37個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →轉輪上的生日問題：只要8次旋轉，某個號碼已出現兩次的機率就超過一半。玩家把重複看成模式；它其實是公平轉輪的預期行為。
問題
旋轉一個公平的歐式轉輪。多少次旋轉後，至少兩次旋轉出現相同號碼的機率數學機率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →會超過一半？多數玩家猜約18或19次，即37的一半。答案是8。
解答
先算不重複的機率，再從一中扣除。經過k次旋轉後，p（全都不同）= (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)。k = 8時：1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44，因此p（有某次重複）≈ 0.56。k = 14時為0.93；k = 20時為0.996。直覺失準，因為旋轉次數的配對數按k²增加，而任何一對都可能相符。
為何這對賭桌有關
最近20個號碼的結果看板幾乎總會出現至少一次重複，常常是兩或三次。玩家看到「17在十次旋轉中出現兩次」，便認定17是熱門號碼；生日問題的算術指出，十次旋轉內出現重複的機率為74%，而重複的是哪個號碼則是隨機的。模式是真的；其意義並非如此。
延伸問題
要多少次旋轉後，某個指定號碼，例如17，會出現兩次？這是不同的問題，答案大得多：期望等待時間是74次旋轉，而20次旋轉內出現兩次17的機率約10%。「某個號碼重複」（8次旋轉）與「這個號碼重複」（74次旋轉）的差異，正是事後注意到的模式與事先作出的預測之間的全部差異。
試試看
執行示範遊戲進行十次旋轉，再查看歷史紀錄。通常會有重複。再執行一次，重複的號碼會不同。做十次，你就看到了生日問題數學生日問題多少人時兩人很可能同生日，或轉多少次時一個號碼很可能重複。在37口袋轉輪上，8次旋轉就有超過一半的機率。閱讀全文 →；做一千次（模擬器可以），你就量到了它。
公式
問題
完全一樣，只是以37個口袋取代365天。23人使生日相同的機率達50%；8次旋轉使轉輪重複的機率達56%。
約19次旋轉後為50%。仍是尋常情況。
不。來自同一轉輪的數千次旋轉才可能如此；一次重複絕不代表。
趣味數學
請先自行試試看。每個解答都摺起來；準備好時再打開。
美式轉輪旁的結果看板顯示最近16次旋轉。上面沒有任何號碼出現兩次的機率有多大？
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答案 約2.5%：40個看板中約39個至少有一個重複號碼。
逐次旋轉計算。第一次可以是任何結果。第二次必須避開它：38個結果中有37個可選。第三次必須避開前兩個：38個中有36個。第十六次必須避開十五個號碼：38個中有23個。
相乘：38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246。
沒有重複號碼的看板才是少見的。有重複號碼的看板對轉輪沒有任何說明力。
歐式轉輪旋轉十次時，17恰好出現五次的機率是多少？任一號碼出現五次或以上的機率呢？以及，四次旋轉中任一號碼至少出現三次的機率？
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答案 17恰好五次：315,576分之1。某個號碼五次或以上：約8,333分之1。四次旋轉中某個號碼至少三次：349分之1。
17出現五次：從十次旋轉中選出哪五次，共252種方式，每種機率為(1/37)⁵ × (36/37)⁵。合計為315,576分之1。
某個號碼：37個號碼各自有308,325分之1的機率出現五次或以上，合計為37/308,325，即8,333分之1。兩個號碼各出現五次的罕見情況被重複計算，但在此精度下扣除它不會改變結果。
四次中出現三次：對一個號碼而言，37⁴種可能結果中有4 × 36 + 1 = 145種；對任一37個號碼而言，145/37³ = 349分之1。
Wizard of Odds回答過這些問題的雙零轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是賭場優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →版本；該轉輪的數字為359,275分之1、9,243分之1及368分之1。「17」和「某個號碼」的差距又是生日問題數學生日問題多少人時兩人很可能同生日，或轉多少次時一個號碼很可能重複。在37口袋轉輪上，8次旋轉就有超過一半的機率。閱讀全文 →：有37種讓人意外的可能。
漫畫點綴
某件事很早就重複。那件事是隨機的。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.